Joseph Dauben

Joseph Warren Dauben (1944 – vivente), storico della scienza statunitense.

Georg Cantor e la teoria degli insiemi transfiniti

Il risultato più notevole di Cantor fu la dimostrazione, in forma matematicamente rigorosa, del fatto che quello di infinito non è un concetto indifferenziato. Non tutti gli insiemi infiniti hanno le stesse dimensioni: pertanto, è possibile confrontare fra loro insiemi infiniti. L'insieme dei punti su una retta, per esempio, e l'insieme di tutte le frazioni sono insiemi infiniti, ma Cantor riuscì a dimostrare, in un senso ben preciso, che il primo insieme è più grande del secondo. Le idee di Cantor erano così sconvolgenti e così controintuitive per i suoi contemporanei, che il grande matematico francese Henri Poincaré condannò la teoria dei numeri transfiniti come «una malattia» da cui un giorno la matematica sarebbe stata curata, Leopold Kronecker, uno dei maestri di Cantor e grande esponente dell'«establishment» matematico tedesco, arrivò al punto di attaccare Cantor personalmente, definendolo addirittura un «ciarlatano scientifico», un «rinnegato» e un «corruttore della gioventù». (p. 84)

È ben noto [...] che Cantor soffrì per tutta la vita di una serie di «esaurimenti nervosi», che divennero sempre più frequenti e sempre più debilitanti con l'età. Questi esaurimenti erano probabilmente i sintomi di una malattia mentale organica; uno studio recente condotto dallo storico della matematica inglese Ivor Grattan-Guinnes, sulla base della valutazione della documentazione medica di Cantor da parte di psicologi della Halle Nervenklinik (l'ospedale per malattie mentali di Halle, nella Germania Orientale), lascia pensare che Cantor fosse vittima di una psicosi maniaco-depressiva. Ciononostante, i primi biografi di Cantor hanno avuto buon gioco a presentare questo matematico, che cercava di difendere la sua complessa teoria ma soffriva per periodi sempre più lunghi di esaurimenti mentali, come la vittima sfortunata delle persecuzioni dei suoi contemporanei. (p. 84)

[...] quando fu chiamato a rispondere ai suoi critici, seppe propugnare le sue idee con forza notevole. La sua malattia mentale, lungi dallo svolgere un ruolo interamente negativo, può aver contribuito, nelle sue fasi maniacali, all'energia e alla dedizione con cui Cantor si fece promotore della sua teoria. (p. 84)

La controversia sorta fra Cantor e Kronecker fu oscurata dall'animosità personale, ma alla radice stavano concezioni filosofiche della matematica fortemente divergenti. Quelle concezioni si riflettono ancora nel dibattito fra costruttivisti e formalisti. Kronecker, un precursore del costruttivismo, è ben noto per un detto che condensa bene l'essensa della sua posizione: «Dio ha creato gli interi; tutto il resto è opera dell'uomo». Con questo spirito sosteneva la necessità di costruire tutta la matematica dagli interi e da combinazioni aritmetiche finite degli interi. Agli inizi degli anni settanta dell'Ottocento, cominciò a rifiutare tutti i processi di limite dell'analisi tradizionale, e si oppose a tutti i tentativi di definire oggetti matematici in termini di limiti. Cosi anche i numeri irrazionali, che erano stati accettati dai matematici per secoli, dovevano essere esclusi dalla matematica, a meno che non si trovasse un metodo per costruirli (come erano stati costruiti i razionali) a partire dagli interi. (p. 89)

Joseph Dauben, Georg Cantor e la teoria degli insiemi transfiniti, in Le Scienze, n. 180, agosto 1983, pp. 84-93.