Ipotesi del continuo

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Citazioni sull'ipotesi del continuo, ipotesi di Cantor sulle dimensioni possibili per gli insiemi infiniti.

Nei suoi momenti di maggiore lucidità, Cantor si era chiesto se esistesse un infinito più grande dei numeri naturali ma più piccolo dei reali. Era convinto che un insieme infinito del genere non ci fosse, ma non riuscì a dimostrare questa congettura, chiamata Ipotesi del continuo. Al secondo Congresso internazionale dei matematici, tenutosi a Parigi nel 1900, Hilbert, nel discorso forse più famoso della storia della matematica, pose ventitré problemi che asserì, esigevano a tutti i costi una soluzione nel nuovo secolo. Al primo posto nella lista c'era la dimostrazione dell'Ipotesi del continuo. Molto dopo la morte di Cantor, anche Gödel cercò di dimostrarla ma, come gli altri, invano. Nel 1963 l'ex assistente di Gödel, il ventinovenne Paul Cohen, lasciò senza parole la comunità matematica con la dimostrazione che l'Ipotesi del continuo non avrebbe mai potuto essere dimostrata con gli assiomi matematici d'uso comune. Dimostrò che si poteva darla per vera o falsa, a piacere, senza contraddire altri risultati riguardanti gli insiemi infiniti. (Paul Hoffman)

Se tornassi in vita fra mille anni chiederei se l'Ipotesi del continuo ha trovato una soluzione. Supponiamo di possedere un'intelligenza infinita: potrebbe decidere se l'Ipotesi del continuo è vera o falsa? La maggior parte dei logici credono che non sia possibile. Sì, l'Ipotesi del continuo è in un certo senso indecidibile. Ma è concepibile che un'intelligenza infinita possa deciderla, perché è concepibile che esistano metodi di dimostrazione che noi non possiamo capire, ma che un'intelligenza superiore capirebbe. Non dico che tali metodi esistono. Non dico neppure che credo che tali metodi esistano, ma potrebbero esistere. (Paul Erdős)

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